Пытаетесь найти бесплатную помощь в интернете, но не удается?
Вас интересует какой-то вопрос или хотите проверить свое решение?
Мы сделали универсальный сервис, где математики помогут Вам.

Как решить систему рекуррентных уравнений?
Поступил вопрос 16 Октября 2019 по предмету

$$\left\{\begin{matrix} a_{n+1}=-2a_n+3b_n\\ b_{n+1}=2a_n-b_n \end{matrix}\right. ,a_0=4,\ b_0=-1$$

Поступил ответ 16 Октября 2019 от Викиматика

Решение:

Из 1-го уравнения системы выразим $b_n$, получим $b_n={{1}\over {3}}\left(a_{n+1}+2a_n\right)$. Подставим теперь $b_n$ во 2-е уравнение системы:

$$\left\{\begin{matrix}
b_n=\frac{1}{3}\left(a_{n+1}+2a_n\right)\\ 
\frac{1}{3}\left(a_{n+2}+2a_{n+1}\right)=2a_n-\frac{1}{3}\left(a_{n+1}+2a_n\right)
\end{matrix}\right.$$

Преобразуем 2-е уравнение системы:

$${{1}\over {3}}\left(a_{n+2}+2a_{n+1}\right)=2a_n-{{1}\over {3}}\left(a_{n+1}+2a_n\right)$$ 

$$a_{n+2}+2a_{n+1}=6a_n-a_{n+1}-2a_n$$ 

$$a_{n+2}+3a_{n+1}-4a_n=0$$ 

Получили линейное однородное рекуррентное уравнение. Составляем для него характеристическое уравнение:

$${\lambda }^2+3\lambda -4=0;;$$ 

$$\left(\lambda -1\right)\left(\lambda +4\right)=0;;$$ 

$${\lambda }_1=1,\ {\lambda }_2=-4.$$ 

Тогда формула общего члена $a_n=C_1{\lambda }^n_1+C_2{\lambda }^n_2=C_1+C_2{\left(-4\right)}^n.$ Определим постоянные $C_1$ и $C_2$.

При $n=0$: 

$$a_n=a_0=C_1+C_2=4.$$ 

При $n=1$:

$$a_n=a_1=C_1-4C_2=-2a_0+3b_0=-2\cdot 4+3\cdot \left(-1\right)=-11.$$ 

Получаем систему уравнений:

$$\left\{\begin{matrix}
C_1+C_2=4\\ 
C_1-4C_2=-11
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
C_1=1\\ 
C_2=3
\end{matrix}\right.$$

Таким образом, $a_n=1+3\cdot {\left(-4\right)}^n.$ Подставляем теперь $a_n$ в $b_n={{1}\over {3}}\left(a_{n+1}+2a_n\right)$, получаем:

$$b_n={{1}\over {3}}\left(1+3\cdot {\left(-4\right)}^{n+1}+2\left(1+3\cdot {\left(-4\right)}^n\right)\right)=1-2\cdot {\left(-4\right)}^n.$$ 

Ответ:

$$\left\{\begin{matrix}
a_n=1+3\cdot {\left(-4\right)}^n\\ 
b_n=1-2\cdot {\left(-4\right)}^n
\end{matrix}\right.$$

×