Пытаетесь найти бесплатную помощь в интернете, но не удается?
Вас интересует какой-то вопрос или хотите проверить свое решение?
Мы сделали универсальный сервис, где математики помогут Вам.

Является ли пересечение и объединение отношений эквивалентности отношениями эквивалентности?
Поступил вопрос 27 Декабря 2018 по предмету

Является ли пересечение и объединение отношений эквивалентности отношениями эквивалентности?

Поступил ответ 27 Декабря 2018 от Викиматика

Решение:

1) Объединение отношений эквивалентности не всегда является отношением эквивалентности. Пусть на множестве $A=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\right\}$ заданы отношения эквивалентности:

$$R=\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(2,\ 2\right),\ \left(3,\ 3\right),\ \left(4,\ 4\right),\ \left(5,\ 5\right),\ \left(1,\ 2\right),\ \left(2,\ 1\right)\right\}$$ 

$$S=\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(2,\ 2\right),\ \left(3,\ 3\right),\ \left(4,\ 4\right),\ \left(5,\ 5\right),\ \left(3,\ 2\right),\ \left(2,\ 3\right)\right\}.$$ 

Объединение данных отношений эквивалентности:

$$R\cup S=\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(2,\ 2\right),\ \left(3,\ 3\right),\ \left(4,\ 4\right),\ \left(5,\ 5\right),\ \left(1,\ 2\right),\ \left(2,\ 1\right),\ \left(3,\ 2\right),\ \left(2,\ 3\right)\right\}$$ 

не является отношением эквивалентности, так как для него не выполнено свойство транзитивности $\left(3,\ 2\right)\in R\cup S$ и $\left(2,\ 1\right)\in R\cup S$, но $\left(3,\ 1\right)\notin R\cup S$.

2) Пересечение отношений эквивалентности является отношением эквивалентности. Докажем это утверждение, проверив свойства отношения $R\cap S$.

Рефлексивно. Понятно, если $R,\ S$ рефлексивные отношения на некотором множестве $X$, то $\left(x,\ x\right)\in R$ и $\left(x,\ x\right)\in S$, отсюда $\left(x,\ x\right)\in R\cap S$ для всякого $x\in S$.

Симметрично. Пусть $\left(x,\ y\right)\in R\cap S$. По свойству симметричности должно $\left(y,\ x\right)\in R\cap S$. Поскольку $\left(x,\ y\right)\in R$, $\left(x,\ y\right)\in S$, то в силу симметричности отношений $R$ и $S$: $\left(y,\ x\right)\in R$, $\left(y,\ x\right)\in S$. Тогда из определения пересечения отношений получаем, что $\left(y,\ x\right)\in R\cap S$.

Транзитивно. Пусть $\left(x,\ y\right)\in R$, $\left(y,\ z\right)\in S$. По свойству транзитивности должно $\left(x,\ z\right)\in R\cap S$. Поскольку $\left(x,\ y\right)\in R,\ \left(x,\ y\right)\in S$, $\left(y,\ z\right)\in R,\ \left(y,\ z\right)\in S$, то в силу транзитивности отношения $R$ и $S$: $\left(x,\ z\right)\in R\cap S$, $\left(x,\ z\right)\in S$. Тогда из определения пересечения отношений получаем, что $\left(x,\ z\right)\in R\cap S$.

Итак, отношение $R\cap S$ является отношением эквивалентности.

×