Пусть с вероятностью 0,1 месячная выручка компании составит 8 млн. рублей, с вероятностью 0,9 составит 9 млн. рублей. При этом затраты с вероятностью 0,3 составят 2 млн. рублей, с вероятностью 0,7 составят 3 млн. рублей. Составить закон распределения месячной прибыли компании. Найти математическое ожидание и дисперсию этого распределения.

Пусть дискретная случайная величина $X$ — месячная прибыль компании. Прибыль $=$ выручка $-$ затраты. Соответственно значения, которые может принимать дискретная случайная величина $X:5,\ 6,\ 7$. В каком случае месячная прибыль составит 5 млн. рублей? Когда выручка окажется 8 млн. рублей, а затраты составят 3 млн. рублей. Тогда вероятность $P\left(X=5\right)=0.1\cdot 0.7=0.07$. Аналогичным образом рассчитываем вероятности остальных значений:

$$P\left(X=6\right)=0.1\cdot 0.3+0.9\cdot 0.7=0.66.$$ 

$$P\left(X=7\right)=0.9\cdot 0.3=0.27.$$ 

Получаем следующий закон распределения $X$:

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 5 & 6 & 7 \\
\hline
p_i & 0.07 & 0.66 & 0.27 \\
\hline
\end{array}$$

Математическое ожидание:

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{x_ip_i}=5\cdot 0.07+6\cdot 0.66+7\cdot 0.27=6.2.$$ 

Дисперсия:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}=0.07\cdot {\left(5-6.2\right)}^2+0.66\cdot {\left(6-6.2\right)}^2+0.27\cdot {\left(7-6.2\right)}^2=0.3.$$