В магазин поступают телевизоры, изготовленные на двух заводах в соотношении: 40% и 60%. На первом заводе вероятность брака равна р1, на втором - р2. Найти вероятность, что купленный телевизор будет годным. Р1=0,3 Р2=0,1

Стрелок делает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Найти вероятность того, что стрелок попадет: а) ровно один раз б) хотя бы один раз. Р=0,45

Решение:

Обозначим событие $A=$ $\{$купленный телевизор будет годным$\}$. Данное событие может произойти лишь при выполнении одного из следующих несовместных событий.

$B_1=$ $\{$телевизор изготовлен на первом заводе$\}$

$B_2=$ $\{$телевизор изготовлен на втором заводе$\}$

Вероятности данных гипотез:

$$P\left(B_1\right)=0,4;$$ 

$$P\left(B_2\right)=0,6.$$ 

Условные вероятности $P\left(A|B_i\right)$ соответственно равны:

$$P\left(A|B_1\right)=1-p_1=1-0,3=0,7;$$ 

$$P\left(A|B_2\right)=1-p_2=1-0,1=0,9.$$ 

Тогда вероятность события $A$ находим по формуле полной вероятности:

$$P\left(A\right)=\sum^n_{i=1}{P\left(B_i\right)P\left(A|B_i\right)}=0,4\cdot 0,7+0,6\cdot 0,9=0,82.$$ 

Ответ: $P\left(A\right)=0,82$.

Решение:

Имеем серию из $n=3$ независимых испытаний (число выстрелов) с постоянной вероятностью $p=0,45$ появления события $A$ (попадание в мишень). Тогда вероятность $P_n\left(k\right)$ появления события $A$ ровно $k$ раз в серии из $n$ таких испытаний можем находится по формуле Бернулли:

$$P_n\left(k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}.$$ 

а) $P_3\left(1\right)=C^1_3\cdot 0,45\cdot {0,55}^2=3\cdot 0,45\cdot {0,55}^2=0,408.$

б) $P_3\left(k\ge 1\right)=1-P_3\left(0\right)=1-{0,55}^3=0,834.$