Пытаетесь найти бесплатную помощь в интернете, но не удается?
Вас интересует какой-то вопрос или хотите проверить свое решение?
Мы сделали универсальный сервис, где математики помогут Вам.

Доказать (можно показать на конкретных примерах) справедливость следующего утверждения
Поступил вопрос 15 Марта 2018 по предмету

Доказать (можно показать на конкретных примерах) справедливость следующего утверждения: Если отношения ρ и σ антисимметричны, то антисимметрично только отношение ρ∩σ, но не ρ∪σ, ρ∘σ.

Поступил ответ 15 Марта 2018 от Викиматика

Пусть на множестве $X=\left\{1,\ 2,\ 3\right\}$ заданы бинарные отношения

$$\rho =\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(2,\ 3\right),\ \left(3,\ 1\right)\right\},\ \sigma =\left\{\left(3,\ 2\right),\ \left(1,\ 1\right),\ \left(3,\ 1\right),\ \left(3,\ 3\right),\ \left(1,\ 2\right)\right\}.$$ 

Данные отношения $\rho $ и $\sigma $ антисимметричны, так как для них выполняются условия 

$$\forall x,\ y\in X:\left(x,\ y\right)\in \rho \wedge \left(y,\ x\right)\in \rho \Leftrightarrow x=y,$$ 

$$\forall x,\ y\in X:\left(x,\ y\right)\in \sigma \wedge \left(y,\ x\right)\in \sigma \Leftrightarrow x=y.$$ 

1) Найдем пересечение отношений $\rho $ и $\sigma $, то есть

$$\rho \cap \sigma =\left\{\left(x,\ y\right):\left(x,\ y\right)\in \rho \wedge \left(x,\ y\right)\in \sigma \right\}{\rm =}\left\{\left({\rm 1,\ 1}\right){\rm ,\ }\left({\rm 3,\ 1}\right)\right\}{\rm \ }---антисимметрично.{\rm \ }$$ 

2) Найдем объединение отношений $\rho $ и $\sigma $, то есть

$$\rho \cup \sigma =\left\{\left(x,\ y\right):\left(x,\ y\right)\in \rho \vee \left(x,\ y\right)\in \sigma \right\}=\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(2,\ 3\right),\ \left(3,\ 1\right),\ \left(3,\ 2\right),\ \left(3,\ 3\right),\ \left(1,\ 2\right)\right\}.$$ 

Отношение $\rho \cup \sigma $ не является антисимметричным, так как $\left(2,\ 3\right)\in \rho \cup \sigma $ и $\left(3,\ 2\right)\in \rho \cup \sigma $, но $2\ne 3$.

3) Найдем композицию отношений $\rho $ и $\sigma $, то есть

$$\rho \circ \sigma =\left\{\left(x,\ z\right):\left(x,\ y\right)\in \rho \wedge \left(y,\ z\right)\in \sigma \right\}=\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(1,\ 2\right),\ \left(2,\ 2\right),\ \left(2,\ 1\right),\ \left(2,\ 3\right),\ \left(3,\ 1\right),\ \left(3,\ 2\right)\right\}.$$ 

Отношение $\rho \circ \sigma $ не является антисимметричным, так как $\left(2,\ 3\right)\in \rho \circ \sigma $ и $\left(3,\ 2\right)\in \rho \circ \sigma $, но $2\ne 3$.

Итак, мы выяснили: если отношения $\rho $ и $\sigma $ антисимметричны, то антисимметрично только отношение $\rho \cap \sigma $, но не $\rho \cup \sigma $, $\rho \circ \sigma $.

×