Доказать (можно показать на конкретных примерах) справедливость следующего утверждения: Если отношения ρ и σ антисимметричны, то антисимметрично только отношение ρ∩σ, но не ρ∪σ, ρ∘σ.

Пусть на множестве $X=\left\{1,\ 2,\ 3\right\}$ заданы бинарные отношения

$$\rho =\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(2,\ 3\right),\ \left(3,\ 1\right)\right\},\ \sigma =\left\{\left(3,\ 2\right),\ \left(1,\ 1\right),\ \left(3,\ 1\right),\ \left(3,\ 3\right),\ \left(1,\ 2\right)\right\}.$$ 

Данные отношения $\rho $ и $\sigma $ антисимметричны, так как для них выполняются условия 

$$\forall x,\ y\in X:\left(x,\ y\right)\in \rho \wedge \left(y,\ x\right)\in \rho \Leftrightarrow x=y,$$ 

$$\forall x,\ y\in X:\left(x,\ y\right)\in \sigma \wedge \left(y,\ x\right)\in \sigma \Leftrightarrow x=y.$$ 

1) Найдем пересечение отношений $\rho $ и $\sigma $, то есть

$$\rho \cap \sigma =\left\{\left(x,\ y\right):\left(x,\ y\right)\in \rho \wedge \left(x,\ y\right)\in \sigma \right\}{\rm =}\left\{\left({\rm 1,\ 1}\right){\rm ,\ }\left({\rm 3,\ 1}\right)\right\}{\rm \ }---антисимметрично.{\rm \ }$$ 

2) Найдем объединение отношений $\rho $ и $\sigma $, то есть

$$\rho \cup \sigma =\left\{\left(x,\ y\right):\left(x,\ y\right)\in \rho \vee \left(x,\ y\right)\in \sigma \right\}=\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(2,\ 3\right),\ \left(3,\ 1\right),\ \left(3,\ 2\right),\ \left(3,\ 3\right),\ \left(1,\ 2\right)\right\}.$$ 

Отношение $\rho \cup \sigma $ не является антисимметричным, так как $\left(2,\ 3\right)\in \rho \cup \sigma $ и $\left(3,\ 2\right)\in \rho \cup \sigma $, но $2\ne 3$.

3) Найдем композицию отношений $\rho $ и $\sigma $, то есть

$$\rho \circ \sigma =\left\{\left(x,\ z\right):\left(x,\ y\right)\in \rho \wedge \left(y,\ z\right)\in \sigma \right\}=\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(1,\ 2\right),\ \left(2,\ 2\right),\ \left(2,\ 1\right),\ \left(2,\ 3\right),\ \left(3,\ 1\right),\ \left(3,\ 2\right)\right\}.$$ 

Отношение $\rho \circ \sigma $ не является антисимметричным, так как $\left(2,\ 3\right)\in \rho \circ \sigma $ и $\left(3,\ 2\right)\in \rho \circ \sigma $, но $2\ne 3$.

Итак, мы выяснили: если отношения $\rho $ и $\sigma $ антисимметричны, то антисимметрично только отношение $\rho \cap \sigma $, но не $\rho \cup \sigma $, $\rho \circ \sigma $.