$$3\cdot 7^n+4\cdot {15}^n-1\equiv 0\ \left({{\rm mod} 8\ }\right)$$ 

$$3\cdot 7^n+4\cdot {15}^n-1\equiv 0\ \left({{\rm mod} 8\ }\right)$$ 

Поскольку $7\equiv -1\ \left({{\rm mod} 8\ }\right)$ и $15\equiv -1\ \left({{\rm mod} 8\ }\right)$, то $3\cdot {\left(-1\right)}^n+4\cdot {\left(-1\right)}^n-1\equiv 0\ \left({{\rm mod} 8\ }\right)$. Ясно, что $-1$ в нечетной степени дает $-1$. Отсюда получается, что $-3-4-1\equiv 0\ \left({{\rm mod} 8\ }\right)$. То есть данное сравнение выполняется только для нечетных натуральных $n$.