Пытаетесь найти бесплатную помощь в интернете, но не удается?
Вас интересует какой-то вопрос или хотите проверить свое решение?
Мы сделали универсальный сервис, где математики помогут Вам.

Проверка свойств
Поступил вопрос 26 Ноября 2017 по предмету "Дискретная математика"

Проверить свойства ( рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, асимметричность, антисимметричность, полнота связность, транзитивность) бинарного отношения R на множестве X. Для отношений эквивалентности описать все классы эквивалентности. А) X= {1,2,3}; R= {(1,1), (1,2),(2,1),(2,2),(3,3)} b) X= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; xRy ↔ x делится на y

Поступил ответ 26 Ноября 2017 от Викиматика

Определим свойства отношения $R=\left\{\left(1,\ 1\right),\ \left(1,\ 2\right),\ \left(2,\ 1\right),\ \left(2,\ 2\right),\ \left(3,\ 3\right)\right\}$, заданного на множестве $X=\left\{1,\ 2,\ 3\right\}$.

1) Рефлексивно, так как $\forall x\in X:\left(x,\ x\right)\in R$, то есть пары $\left(1,\ 1\right),\ \left(2,\ 2\right),\ \left(3,\ 3\right)$ входят в отношение $R$.

2) Симметрично, так как $\forall x,\ y\in X:\left(x,\ y\right)\in R\Rightarrow \left(y,\ x\right)\in R$.

3) Транзитивно, так как $\forall x,\ y,\ z\in X:\left(x,\ y\right)\in R\wedge \left(y,\ z\right)\in R\Rightarrow \left(x,\ z\right)\in R$.

Итак, отношение $R$ задает отношение эквивалентности на множестве $X$. Классы эквивалентности: $\left[a_1\right]=\left\{1,\ 2\right\},\ \left[a_2\right]=\left\{3\right\}$.

Отношение $R$ не является связным, так как не выполняется условие $\forall x,\ y\in X:\left(x,\ y\right)\in R\vee \left(y,\ x\right)\in R$. Например, для $x=1,\ y=3$ имеем: $\left(1,\ 3\right)\notin R$ и $\left(3,\ 1\right)\notin R$.

Второе задание решайте по аналогии. Отношение делимости на множестве $X$ является отношением частичного порядка, а значит обладает свойствами: рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

×