Для получения справки по телефону о прибытии поезда абонент решил сделать не более пяти попыток дозвониться до справочного бюро. Вероятность того, что, набрав номер справочного бюро, абонент получит ответ, равна 2/7. Составить закон распределения числа неудачных попыток абонента, написать функцию распределения этой случайной величины и найти вероятность того, что ему придется звонить не более трех раз.

Пусть дискретная случайная величина $X$ — число неудачных попыток абонента дозвониться до справочного бюро. Значения, которые может принимать $X:0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$. Найдем вероятности этих значений, используя теорему о вероятности произведения независимых событий.

$$P\left(X=0\right)={{2}\over {7}}\approx 0,286.$$

$$P\left(X=1\right)=\left(1-{{2}\over {7}}\right)\cdot {{2}\over {7}}={{5}\over {7}}\cdot {{2}\over {7}}={{10}\over {49}}\approx 0,204.$$

$$P\left(X=2\right)={\left(1-{{2}\over {7}}\right)}^2\cdot {{2}\over {7}}={\left({{5}\over {7}}\right)}^2\cdot {{2}\over {7}}={{50}\over {343}}\approx 0,146.$$

$$P\left(X=3\right)={\left(1-{{2}\over {7}}\right)}^3\cdot {{2}\over {7}}={\left({{5}\over {7}}\right)}^3\cdot {{2}\over {7}}={{250}\over {2401}}\approx 0,104.$$

$$P\left(X=4\right)={\left(1-{{2}\over {7}}\right)}^4\cdot {{2}\over {7}}={\left({{5}\over {7}}\right)}^4\cdot {{2}\over {7}}={{1250}\over {16807}}\approx 0,074.$$

$$P\left(X=5\right)={\left(1-{{2}\over {7}}\right)}^5={\left({{5}\over {7}}\right)}^5={{3125}\over {16807}}\approx 0,186.$$

Получаем искомый закон распределения случайной величины $X$.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
 X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\ \\
\hline
p_i & 0,286 & 0,204 & 0,146 & 0,104 & 0,074 & 0,186 \\
\hline
\end{array}$$

Функция распределения случайной величины $X$:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\ 
0,286,\ 0 < x\le 1\\ 
0,49,\ 1 < x\le 2\\ 
0,636,\ 2 < x\le 3\\ 
0,74,\ 3 < x\le 4\\ 
0,814,\ 4 < x\le 5\\ 
1,\ x>5
\end{matrix}\right.$$ 

Вероятность того, что абоненту придется звонить не более трех раз:

$$P\left(X\le 3\right)=P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=0,74.$$