Выразить sin6x через sinx и cosx

Рассмотрим выражение ${\left({\cos  x\ }+i{\sin  x\ }\right)}^6$. C одной стороны, по формуле Муавра

$${\left({\cos  x\ }+i{\sin  x\ }\right)}^6={\cos  6x\ }+i{\sin  6x\ }.$$ 

C другой стороны, с помощью бинома Ньютона 

$${\left({\cos  x\ }+i{\sin  x\ }\right)}^6=\sum^6_{k=0}{C^k_6\cdot {\left({\cos  x\ }\right)}^{6-k}\cdot {\left(i{\sin  x\ }\right)}^k}=$$ 

$$=C^0_6\cdot {{\cos }^{{\rm 6}} x\ }\cdot {\left(i{\sin  x\ }\right)}^0+C^1_6\cdot {{\cos }^{{\rm 5}} x\ }\cdot \left(i{\sin  x\ }\right)+C^2_6\cdot {{\cos }^{{\rm 4}} x\ }\cdot {\left(i{\sin  x\ }\right)}^2+C^3_6\cdot {{\cos }^{{\rm 3}} x\ }\cdot {\left(i{\sin  x\ }\right)}^3+C^4_6\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\left(i{\sin  x\ }\right)}^4+C^5_6\cdot {\cos  x\ }\cdot {\left(i{\sin  x\ }\right)}^5+C^6_6\cdot {{\cos }^0 x\ }\cdot {\left(i{\sin  x\ }\right)}^6={{\cos }^{{\rm 6}} x\ }+\left(6{{\cos }^{{\rm 5}} x\ }{\sin  x\ }\right)i-15{{\cos }^{{\rm 4}} x\ }{{\sin }^2 x\ }-\left(20{{\cos }^3 x\ }{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }\right)i+15{{\cos }^2 x\ }{{\sin }^4 x\ }+\left(6{\cos  x\ }{{\sin }^5 x\ }\right)i-{{\sin }^6 x\ }={{\cos }^{{\rm 6}} x\ }-15{{\cos }^{{\rm 4}} x\ }{{\sin }^2 x\ }+15{{\cos }^2 x\ }{{\sin }^4 x\ }-{{\sin }^6 x\ }+\left(6{{\cos }^{{\rm 5}} x\ }{\sin  x\ }-20{{\cos }^3 x\ }{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }+6{\cos  x\ }{{\sin }^5 x\ }\right)i.$$ 

Тогда ${\cos  6x\ }+i{\sin  6x\ }={{\cos }^{{\rm 6}} x\ }-15{{\cos }^{{\rm 4}} x\ }{{\sin }^2 x\ }+15{{\cos }^2 x\ }{{\sin }^4 x\ }-{{\sin }^6 x\ }+\left(6{{\cos }^{{\rm 5}} x\ }{\sin  x\ }-20{{\cos }^3 x\ }{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }+6{\cos  x\ }{{\sin }^5 x\ }\right)i$.

Из равенства действительных частей следует, что

$${\cos  6x\ }={{\cos }^{{\rm 6}} x\ }-15{{\cos }^{{\rm 4}} x\ }{{\sin }^2 x\ }+15{{\cos }^2 x\ }{{\sin }^4 x\ }-{{\sin }^6 x\ }.$$ 

Равенство мнимых частей говорит о том, что

$${\sin  6x\ }=6{{\cos }^{{\rm 5}} x\ }{\sin  x\ }-20{{\cos }^3 x\ }{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }+6{\cos  x\ }{{\sin }^5 x\ }.$$