Решить уравнение

$$\left(2-2\sqrt{3}\right)ix^4+1=0.$$ 

$$\left(2-2\sqrt{3}\right)ix^4=-1.$$ 

$$x^4=-{{1}\over {\left(2-2\sqrt{3}\right)i}}={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}.$$ 

$$x=\sqrt{{{i}\over {2-2\sqrt{3}}}}.$$ 

Переведем комплексное число $z={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}$ к алгебраической форме.

$$z={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}={{i\left(2+2\sqrt{3}\right)}\over {\left(2-2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}}={{2i\left(1+\sqrt{3}\right)}\over {4-4\cdot 3}}={{2i\left(1+\sqrt{3}\right)}\over {-8}}=-i\left({{1+\sqrt{3}}\over {4}}\right).$$ 

Тригонометрическая форма комплексного числа $z$ будет иметь вид

$$z=r\left({\cos  \varphi \ }+i{\sin  \varphi \ }\right),\ где:$$ 

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0^2+{\left({{1+\sqrt{3}}\over {4}}\right)}^2}={{1+\sqrt{3}}\over {4}}$ --- модуль числа $z$;

$\varphi =-\pi /2$ --- главное значение аргумента числа $z$.

Тогда

$$z=r\left({\cos  \varphi \ }+i{\sin  \varphi \ }\right)={{1+\sqrt{3}}\over {4}}\left({\cos  \left(-{{\pi }\over {2}}\right)+i{\sin  \left(-{{\pi }\over {2}}\right)\ }\ }\right).$$ 

Для нахождения $\sqrt{z}$ воспользуемся формулой Муавра:

$$\sqrt{z}=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi k}\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi k}\over {4}}\right)\ }\ }\right),\ где\ k=0,\ 1,\ 2,\ 3.$$ 

При $k=0$ получаем значение корня:

$$z_0=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}}\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}}\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left(-{{\pi }\over {8}}\right)+i{\sin  \left(-{{\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$ 

При $k=1$ получаем значение корня:

$$z_1=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi }\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{3\pi }\over {8}}\right)+i{\sin  \left({{3\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$ 

При $k=2$ получаем значение корня:

$$z_2=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}+4\pi }\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}+4\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{7\pi }\over {8}}\right)+i{\sin  \left({{7\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$ 

При $k=3$ получаем значение корня:

$$z_3=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}+6\pi }\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}+6\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{11\pi }\over {8}}\right)+i{\sin  \left({{11\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$