Пытаетесь найти бесплатную помощь в интернете, но не удается?
Вас интересует какой-то вопрос или хотите проверить свое решение?
Мы сделали универсальный сервис, где математики помогут Вам.
Решить уравнение
Прикрепленные файлы:
$$\left(2-2\sqrt{3}\right)ix^4+1=0.$$
$$\left(2-2\sqrt{3}\right)ix^4=-1.$$
$$x^4=-{{1}\over {\left(2-2\sqrt{3}\right)i}}={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}.$$
$$x=\sqrt{{{i}\over {2-2\sqrt{3}}}}.$$
Переведем комплексное число $z={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}$ к алгебраической форме.
$$z={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}={{i\left(2+2\sqrt{3}\right)}\over {\left(2-2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}}={{2i\left(1+\sqrt{3}\right)}\over {4-4\cdot 3}}={{2i\left(1+\sqrt{3}\right)}\over {-8}}=-i\left({{1+\sqrt{3}}\over {4}}\right).$$
Тригонометрическая форма комплексного числа $z$ будет иметь вид
$$z=r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right),\ где:$$
$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0^2+{\left({{1+\sqrt{3}}\over {4}}\right)}^2}={{1+\sqrt{3}}\over {4}}$ --- модуль числа $z$;
$\varphi =-\pi /2$ --- главное значение аргумента числа $z$.
Тогда
$$z=r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right)={{1+\sqrt{3}}\over {4}}\left({\cos \left(-{{\pi }\over {2}}\right)+i{\sin \left(-{{\pi }\over {2}}\right)\ }\ }\right).$$
Для нахождения $\sqrt{z}$ воспользуемся формулой Муавра:
$$\sqrt{z}=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi k}\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi k}\over {4}}\right)\ }\ }\right),\ где\ k=0,\ 1,\ 2,\ 3.$$
При $k=0$ получаем значение корня:
$$z_0=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}}\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}}\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left(-{{\pi }\over {8}}\right)+i{\sin \left(-{{\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$
При $k=1$ получаем значение корня:
$$z_1=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi }\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{3\pi }\over {8}}\right)+i{\sin \left({{3\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$
При $k=2$ получаем значение корня:
$$z_2=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}+4\pi }\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}+4\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{7\pi }\over {8}}\right)+i{\sin \left({{7\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$
При $k=3$ получаем значение корня:
$$z_3=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}+6\pi }\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}+6\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{11\pi }\over {8}}\right)+i{\sin \left({{11\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$