Нужно перевести в тригонометрическую форму, возвести в степень и выполнить деление

$${{{\left(-2-2\sqrt{3}i\right)}^{15}}\over {{\left(-2+2i\right)}^{20}}}$$ 

1) Переведем комплексное число $z_1=-2-2\sqrt{3}i$ в тригонометрическую форму:

$$z_1=r\left({\cos  \varphi \ }+i{\sin  \varphi \ }\right)$$ 

Модуль числа $z_1$ равен $\left|z_1\right|=r=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$.

Аргумент числа $z_1$:

$${{\rm tg} \varphi \ }={{y}\over {x}}\Leftrightarrow {{\rm tg} \varphi \ }={{-2\sqrt{3}}\over {-2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \varphi ={{4\pi }\over {3}}.$$ 

Тогда $z_1=r\left({\cos  \varphi \ }+i{\sin  \varphi \ }\right)=4\left({\cos  {{4\pi }\over {3}}\ }+i{\sin  {{4\pi }\over {3}}\ }\right)$

2) Переведем комплексное число $z_2=-2+2i$ в тригонометрическую форму:

$$z_2=r\left({\cos  \varphi \ }+i{\sin  \varphi \ }\right)$$ 

Модуль числа $z_2$ равен $\left|z_2\right|=r=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}=\sqrt{8}$.

Аргумент числа $z_2$:

$${{\rm tg} \varphi \ }={{y}\over {x}}\Leftrightarrow {{\rm tg} \varphi \ }={{2}\over {-2}}=-1\Rightarrow \varphi ={{3\pi }\over {4}}.$$ 

Тогда $z_2=r\left({\cos  \varphi \ }+i{\sin  \varphi \ }\right)=\sqrt{8}\left({\cos  {{3\pi }\over {4}}+i{\sin  {{3\pi }\over {4}}\ }\ }\right).$

3) Возведем в степени комплексные числа $z_1$ и $z_2$, используя формулу Муавра $z^n=r^n\left({\cos  n\varphi \ }+i{\sin  n\varphi \ }\right).$

$$z^{15}_1=4^{15}\left({\cos  20\pi \ }+i{\sin  20\pi \ }\right).$$ 

$$z^{20}_2={\sqrt{8}}^{20}\left({\cos  15\pi +i{\sin  15\pi \ }\ }\right).$$ 

4) Выполним деление $z^{15}_1/z^{20}_2$. Для этого нужно найти частное соответствующих модулей и разность соответствующих аргументов данных комплексных чисел.

$${{z^{15}_1}\over {z^{20}_2}}={{4^{15}}\over {{\sqrt{8}}^{20}}}\left({\cos  \left(20\pi -15\pi \right)+i{\sin  \left(20\pi -15\pi \right)\ }\ }\right).$$ 

Поскольку ${\sqrt{8}}^{20}={\left(2\sqrt{2}\right)}^{20}=2^{20}\cdot {\sqrt{2}}^{20}=2^{20}\cdot {\left(2^{{{1}\over {2}}}\right)}^{20}=2^{20}\cdot 2^{10}=2^{30}={\left(2^2\right)}^{15}=4^{15}$, то:

$${{z^{15}_1}\over {z^{20}_2}}={\cos  5\pi \ }-i{\sin  5\pi \ }=-1-0=-1.$$