Поделиться
Действия с вероятностями
Опубликовал Wikimatik , 3 Января 2017 по предмету "Теория вероятностей"
  1. СУММА СОБЫТИЙ
  2. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ
  3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ
  4. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
  5. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
  6. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
  7. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
  8. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

 

СУММА СОБЫТИЙ

Суммой $A+B$ событий $A$ и $B$ называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них, то есть могут появиться либо только событие $A$, либо только событие $B$, либо события $A$ и $B$ одновременно.

Пример 21. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие $A=$ {попадание 1-го стрелка}, событие $B=$ {попадание 2-го стрелка}. Тогда сумма $A+B$ событий $A$ и $B$ — это попадание в мишень хотя бы одного из этих стрелков.

Пример 22. Подбрасывают две монеты. Событие $C=$ {выпал герб на 1-й монете}, событие $D=$ {выпал герб на 2-й монете}. Тогда сумма $C+D$ событий $C$ и $D$ — это появление хотя бы одного герба в двух бросаниях.

Пример 23. Из урны, в которой находятся белые и черные шары, вынимают два шара. Событие $E=$ {1-й вынутый шар черный}, событие $F=$ {2-й вынутый шар черный}. Тогда сумма $E+F$ событий $E$ и $F$ — это появление хотя бы одного черного шара.

Пример 24. Подбрасывают два раза кубик. Событие $G\ =$ {при 1-м бросании выпало 1}, событие $H=$ {при 2-м бросании выпало 1}. Тогда сумма $G+H$ событий $G$ и $H$ — это появление хотя бы одной единицы в двух бросаниях кубика.

ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: $P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$, где $A$ и $B$ — несовместные события.

Замечание. Теорема верна и для $n$ попарно несовместных событий. 

Следствие. Рассмотрим противоположные события $A$ и $\overline{A}$. Эти события несовместны. Тогда событие $A+\overline{A}$ заключается в том, что произойдет либо только событие $A$, либо только событие $\overline{A}$, то есть событие $A+\overline{A}$ достоверное. Тогда $P\left(A+\overline{A}\right)=1$. Но $P\left(A+\overline{A}\right)=P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)$. Поэтому $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)$.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ

Произведением $AB$ событий $A$ и $B$ называется событие, состоящее в их одновременном появлении.

Пример 25. Произведение $AB$ событий $A$ и $B$ из примера 21 — это попадание в мишень обоих стрелков.

Пример 26. Произведение $CD$ событий $C$ и $D$ из примера 22 — это выпадение двух гербов.

Пример 27. Произведение $EF$ событий $E$ и $F$ из примера 23 — это то, что оба вынутых шара будут черного цвета.

Пример 28. Произведение $GN$ событий $G$ и $N$ — это выпадение двух единиц при двух бросаниях кубика.

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого. Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Пример 29. Из урны, в которой находятся 8 белых и 12 черных шаров, последовательно вынимают два шара и обратно не возвращают. Событие $A=$ {1-й вынугый шар черный}, событие $B=$ {2-й вынутый шар черный}. Выясним, зависимы ли события $A$ и $B$.

Пусть произошло событие $A$, то есть 1-й вынутый шар черный. Тогда в урне осталось 19 шаров, из них 11 черных. Поэтому вероятность события $B$ равна $P\left(B\right)=11/19$ (всего 19 вариантов, из них 11 благоприятствуют событию В).

Пусть теперь не произошло событие $A$, то есть произошло противоположное событие $\overline{A}$ — {1-й вынутый шар не черный} $=$ {1-й вынутый шар белый}. Тогда в урне осталось 19 шаров, из них по-прежнему 12 черных. Поэтому вероятность события $B$ равна $P\left(B\right)=12/19$ (всего 19 вариантов, из них 12 благоприятствуют событию $B$).

Мы видим, что вероятность появления события $B$ зависит от появления или непоявления события $A$.

ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: $P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$, где $A$ и $B$ — независимые события.

Пример 30. Система, состоящая из двух работающих независимо друг от друга устройств, функционирует исправно только при одновременной работе этих устройств. Вероятности работы 1-го и 2-го устройств равны соответственно $0,8$ и $0,9$. Какова вероятность функционирования системы в целом?

Событие $A=$ {работает 1-е устройство}, событие $B=$ {работает 2-е устройство}. По условию $P\left(A\right)=0,8$, $P\left(B\right)=0,9$. Произведение событий $AB=$ {работают оба устройства} = {работает система}.

Так как события $A$ и $B$ независимы (устройства работают независимо друг от друга), то $P${работает система} $=P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)=0,8\times 0,9=0,72$.

Пример 31. Найдем вероятность выпадения двух единиц при двух бросаниях кубика.

Событие $A=$ {при 1-м бросании выпало 1}, событие $B=$ {при 2-м бросании выпало 1}. Тогда $AB=$ {оба раза выпало 1}.

$A$ и $B$ — независимые события, так как результаты при втором бросании кубика не зависят от того, что выпало при первом бросании. $P\left(A\right)=P\left(B\right)=1/6$. Тогда $P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)={{1}\over {6}}\cdot {{1}\over {6}}={{1}\over {36}}$.

Пример 32. По мнению экспертов, надежность предприятий $X$ и $Y$ равна соответственно $0,9$ и $0,7$. Предприятия $X$ и $Y$ функционируют независимо. Определим вероятность того, что оба предприятия не обанкротятся. 

Событие $A=$ {предприятие $X$ не обанкротится}, событие $B=$ {предприятие $Y$ не обанкротится}. По условию $P\left(A\right)=0,9,\ P\left(B\right)=0,7$. Произведение событий $AB=$ {оба предприятия не обанкротятся}.

Так как события $A$ и $B$ независимы (предприятия $Х$ и $Y$ функционируют независимо), то $P$(оба предприятия не обанкротятся) $=P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)=0,9\cdot 0,7=0,63$.

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Условной вероятностью $P\left(B|A\right)$ называется вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ произошло. Тогда для зависимых событий $P\left(B|A\right)\ne P\left(B|\overline{A}\right)$. Для независимых событий $P\left(B|A\right)=P\left(B|\overline{A}\right)=P\left(B\right)$.

Пример 33. В примере 29 $P\left(B|A\right)=$ $P$(2-й вынутый шар черный при условии, что 1-й вынутый шар черный) = $P$(2-й вынутый шар черный 1-й вынутый шар черный) $=11/19$.

$P\left(B|\overline{A}\right)=$ $P$(2-й вынутый шар черный при условии, что 1-й вынутый шар не черный) $=$ $P$(2-й вынутый шар черный|1-й вынутый шар не черный) $=12/19$.

Поэтому события $A$ и $B$ зависимы.

ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ

Теорема. Для зависимых событий $A$ и $B$ верно следующее: $P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B|A\right)$.

Пример 34. Вернемся к примерам 29 и 33. Найдем вероятность того, что из урны вынуты два черных шара, то есть найдем вероятность события $AB$. $P$(из урны вынуты два черных шара) $=P\left(A\right)P\left(B|A\right)=$ $P$(1-й вынутый шар черный)$\times P$(2-й вынутый шар черный при условии, что 1-й вынутый шар черный) $={{12}\over {20}}\times {{11}\over {19}}={{33}\over {95}}$.

Пример 35. Команде предстоит сыграть полуфинал и, возможно, финал. Вероятность победы в полуфинале сами игроки оценивают в $0,6$, а вероятность победы в финале (при условии победы в полуфинале) — в $0,5$. Какова вероятность, по мнению игроков, того, что команда станет чемпионом?

Событие $A=$ {победа в полуфинале}, событие $B=$ {победа в финале}. Событие {команда станет чемпионом} $=$ {победы в полуфинале и финале} $=AB$. Тогда $P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B|A\right)=$ $P$(победа в полуфинале $\times $ $P$(победа в финале при условии победы в полуфинале) $=0,6\times 0,5=0,3$.

Пример 36. Вероятность получения патента равна $0,7$, а вероятность получения дохода в случае получения патента равна $0,8$. Определим вероятность получения дохода.

Нам известны вероятность $P$(получение патента) $=0,7$ и условная вероятность $P$(получение дохода в случае получения патента) $=0,8$. Тохда $P$(получение дохода) = $P$(получение патента)$\times P$(получение дохода в случае получения патента) $0,7\cdot 0,8=0,56$.

ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме их вероятностей без учета вероятности произведения этих событий: $P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$.

Если события $A$ и $B$ несовместны, то $AB$ — невозможное событие. Тогда $P\left(AB\right)=0$.

Пример 37. Найдем вероятность выпадения хотя бы одной единицы при двух бросаниях кубика в примере 31.

Событие $A=$ {при 1-м бросании выпало 1}, событие $B=$ {при 2-м бросании выпало 1}. Тогда $A+B=$ {хотя бы один раз выпало 1}. $P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)={{1}\over {6}}+{{1}\over {6}}-{{1}\over {36}}={{11}\over {36}}$.

 

Данная статья полезна?
×