Поделиться
Основные понятия теории вероятностей
Опубликовал Wikimatik , 3 Января 2017 по предмету "Теория вероятностей"

Всей деятельности человека присущ элемент случайности. Например, студент может прийти на лекцию за 5 минут до ее начала, а может и опоздать на 10 минут. При удачном запуске спутника траектория спутника в какой-то допустимой мере отличается от той, которая была рассчитана до запуска спутника. Подобных примеров можно привести немало.

На результат любого действия влияет множество случайных факторов. Поэтому человек должен уметь реагировать на случайность.

Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений. Здесь интересуются не результатом конкретного опыта, а тем, что получится после многократного повторения этого опыта.

Теория вероятностей возникла в XVII веке. Одной из причин появления теории вероятностей была попытка осмыслить результаты всевозможных азартных игр для выработки наилучшей стратегии. Результаты, полученные для игр, оказались очень полезными при изучении других явлений. А теперь введем необходимые понятия.

Под опытом будем понимать выполнение определенных условий, при которых наблюдается изучаемое явление. Стрельба по мишени, бросание монеты, вынимание шаров из урны, бросание игрального кубика — все это примеры опытов. Событие — это результат опыта. Будем обозначать события латинскими буквами $A, B, C...$

Пример 1. Производится выстрел по мишени. Событие $A=$ {попадание в мишень}, событие $B=$ {промах}.

Пример 2. Бросают монету. Событие $C=$ {выпал герб}, событие $D=$ {выпало число}.

Пример 3. В урне находятся черные и белые шары. Из урны извлекают один шар. Событие $E=$ {извлечен черный шар}, событие $F=$ {извлечен белый шар}.

Пример 4. Бросают кубик. Событие $G=$ {выпало число 1}, событие $N=$ {выпало число 2}.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в данном опыте.

Пример 5. В урне находятся только черные шары. Из урны вынимают один шар. Событие $H=$ {извлечен черный шар} является достоверным, так как всегда вынимают черный шар.

Пример 6. Бросают кубик. Событие $K=$ {выпало какое-то число от 1 до 6} является достоверным, так как всегда выпадает какое-то число от 1 до 6.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном опыте.

Пример 7. Вернемся к примеру 5. Событие $L\ =$ {извлечен белый шар} является невозможным, так как всегда вынимают черный шар.

Пример 8. Вернемся к примеру 6. Событие $M=$ {выпало число 7} является невозможным, так как всегда выпадает какое-то число от 1 до 6.

Событие называется случайным, если оно может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

Пример 9. События $A$ и $B$ из примера 1, события $C$ и $D$ из примера 2, события $E$ и $F$ из примера 3, события $G$ и $N$ из примера 4 — это примеры случайных событий.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого.

Пример 10. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие $A=$ {попадание 1-го стрелка в мишень}, событие $B=$ {попадание 2-го стрелка в мишень}. Это совместные события, так как возможна ситуация, когда оба стрелка попадут в мишень.

Пример 11. Бросают две монеты. Событие $C=$ {выпал герб на 1-й монете}, событие $D=$ {выпал герб на 2-й монете}. Это совместные события, так как возможна ситуация, когда на обеих монетах выпадет герб.

Пример 12. В 1-й урне находятся черные и белые шары, а во 2-й — красные и синие. Из каждой урны вынимают по одному шару. Событие $E=$ {из 1-й урны извлечен черный шар}, событие $F=$ {из 2-й урны извлечен красный шар}. Это совместные события, так как возможна ситуация, когда события $E$ и $F$ произойдут одновременно.

Пример 13. Бросают два кубика. Событие $G=$ {на 1-м кубике выпало число 1}, событие N = {на 2-м кубике выпало число 1}. Это совместные события, так как возможна ситуация, когда одновременно выпадут две единицы.

Два события называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление другого.

Пример 14. События $A$ и $B$ из примера 1 — несовместные события. Они не могут произойти одновременно. События $C$ и $D$ из примера 2 — несовместные события. События $E$ и $F$ из примера 3 — несовместные события. События $G$ и $N$ из примера 4 — несовместные события.

Множество событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны (то есть никакие два из них не могут произойти одновременно) и какое-то из них обязательно произойдет.

Противоположные события — это полная группа из двух событий. Одно из противоположных событий обозначается буквой, другое — той же буквой с чертой (например, $A$ и $\overline{A}$).

Пример 15. Бросают кубик. Событие $A_i$ {выпало число $i$}, $i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Эти 6 событий образуют полную группу событий, так как всегда выпадает какое-то число от 1 до 6 и невозможна ситуация, когда при одном бросании выпадают сразу два числа.

Пример 16. События $C$ и $A$ из примера 2 — противоположные события: $D=\overline{C}$.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаше других. Каждое равновозможное событие, которое может произойти в данном опыте, называется элементарным исходом.

Пример 17. События из примера 15 — равновозможные события. $A_i$ — элементарные исходы, $i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. События из примера 16 — равновозможные события. $C$ и $\overline{C}$ — элементарные исходы.

Элементарные исходы, при которых наступает некоторое событие, называются элементарными исходами, благоприятствующими этому событию.

Пример 18. В примере 15 событию $A=$ {выпало четное число} благоприятствует выпадение 2, 4 или 6 (то есть элементарные исходы $A_i$, $i\ =\ 2,\ 4,\ 6$). Событию $B=$ {выпало простое число} благоприятствует выпадение 2, 3 или 5 (то есть элементарные исходы $A_i$, $i=2,\ 3,\ 5$).

Вероятностью события $A$ называется отношение числа $m$ исходов, благоприятствующих событию $A$, к числу $n$ всех равновозможных исходов опыта: $P\left(A\right)=m/n$.

Пример 19. В примере 18 событию $A=$ {выпало четное число} благоприятствуют $m=3$ элементарных исхода, а всего возможно $n=6$ элементарных исходов. Следовательно, $P\left(A\right)=m/n=3/6=0,5$. Аналогично $P(B)\ =\ m/n\ =\ 3/6\ =\ 0,5$.

Пример 20. При бросании монеты $P$ (выпал герб) $=$ $P$ (выпало число) $=0,5$.

Простейшие свойства вероятности.

1. $0\le P\left(A\right)\le 1$;

2. Вероятность достоверного события равна $1$.

3. Вероятность невозможного события равна $0$.

4. $0< P(A)< 1$

Данная статья полезна?
×