Поделиться
Неравенства Чебышева и Маркова
Опубликовал Wikimatik , 15 Апреля 2017 по предмету "Теория вероятностей"

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева утверждает, что вероятность отклонения случайной величины $X$ от своего математического ожидания $M\left(X\right)$ на любую наперед заданную величину $\varepsilon >0$ не превосходит $D\left(X\right)/{\varepsilon }^2$, то есть:

$$P\left(\left|X-M\left(X\right)\right|\ge \varepsilon \right)\le {{D\left(X\right)}\over {{\varepsilon }^2}}.$$ 

Иногда неравенство Чебышева формулируют иначе:

$$P\left(\left|X-M\left(X\right)\right|<\varepsilon \right)\ge 1-{{D\left(X\right)}\over {{\varepsilon }^2}}.$$ 

Первая формулировка неравенства определяет нижнюю границу вероятности события, а вторая формулировка определяется верхнюю границу вероятности события.

Неравенство Маркова

Неравенство Маркова утверждает, что для любой неотрицательной случайной величины $X\ $ и для любого $\varepsilon >0$ справедливо следующее неравенство:

$$P\left(X\ge \varepsilon \right)\le {{M\left(X\right)}\over {\varepsilon }}.$$ 

Неравенство Маркова также можно записать в другой форме:

$$P\left(X<\varepsilon \right)\ge 1-{{M\left(X\right)}\over {\varepsilon }}.$$ 

Пример 1. Дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=1,4$. C помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина $X$ отклонится от своего математического ожидания не более, чем на величину $\varepsilon =2$.

Вероятность того, что случайная величина $X$ отклонится от своего математического ожидания $M\left(X\right)$ не более, чем на величину $\varepsilon $:

$$P\left(\left|X-M\left(X\right)\right|\le \varepsilon \right)\ge 1-{{D\left(X\right)}\over {{\varepsilon }^2}}$$ 

По условию, $D\left(X\right)=1,4,\ \varepsilon =2$, тогда:

$$P\left(\left|X-M\left(X\right)\right|\le 2\right)\ge 1-{{1,4}\over {4}}\ge 1-0,35\ge 0,65.$$ 

Пример 2. Ежегодная потребность в электроэнергии для НИИ составляет в среднем $500$ кВт.ч. Какой расход электроэнергии можно наблюдать в любой день недели с вероятностью не менее $0,85$? Как изменится ответ задачи, если будет известно, что значение среднего квадратического отклонения ежегодного расхода электроэнергии составит $50$ кВт.ч? При решении считать, что НИИ потребляет энергию $365$ дней в году.

Случайная величина $X$ --- расход электроэнергии НИИ за день. Полагаем, что такая случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей.

1) Математическое ожидание расхода электроэнергии на день: $M\left(X\right)={{500}\over {365}}\approx 1,37$. Воспользуемся неравенством Маркова:

$$P\left(X\ge \varepsilon \right)\le {{M\left(X\right)}\over {\varepsilon }}$$ 

Получаем, что 

$$P\left(X\ge \varepsilon \right)\le {{1,37}\over {\varepsilon }}\Rightarrow P\left(X\le \varepsilon \right)\ge 1-{{1,37}\over {\varepsilon }}=0,85\Rightarrow {{1,37}\over {\varepsilon }}=0,15\Rightarrow \varepsilon =9,13$$ 

отсюда $X\le 9,13$. Значит, каждый день с вероятностью не менее 0,85 можно наблюдать расход электроэнергии не больше, чем 9,13 кВт. ч.

2) Находим дисперсию расхода электроэнергии для одного дня $D\left(X\right)={{{50}^2}\over {365}}\approx 6,85$. Далее используем неравенство Чебышева:

$$P\left(\left|X-M\left(X\right)\right|\le \varepsilon \right)\ge 1-{{D\left(X\right)}\over {{\varepsilon }^2}},\ то\ есть:$$ 

$$P\left(\left|X-1,37\right|\le \varepsilon \right)\ge 1-{{6,85}\over {{\varepsilon }^2}}=0,85\Rightarrow {{6,85}\over {{\varepsilon }^2}}=0,15\Rightarrow \varepsilon =\sqrt{{{6,85}\over {0,15}}}=6,76$$ 

Имеем: $\left|X-1,37\right|\le 6,76$, отсюда $X\in \left[-5,39;8,13\right]$.

Данная статья полезна?
×