Поделиться
Равномерный закон распределения вероятностей
Опубликовал Wikimatik , 3 Января 2017 по предмету "Теория вероятностей"

Равномерный закон распределения вероятностей

Пожалуй, равномерное распределение является самым простым из всех законов распределений непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина $X$ является равномерно распределенной на отрезке $\left[a;b\right]$, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le a\\ 
{{1}\over {b-a}},\ a < x\le b\\ 
0,\ x>b
\end{matrix}\right.$$

Тогда соответствующая функция распределения имеет вид:

$$F\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le a\\ 
{{x-a}\over {b-a}},\ a < x\le b\\ 
1,\ x>b
\end{matrix}\right.$$ 

Графики функций плотности $f\left(x\right)$ и распределения $F\left(x\right)$ представлены на рисунке.

Для равномерного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам. Математическое ожидание:

$$M\left(X\right)={{a+b}\over {2}}.$$ 

Дисперсия:

$$D\left(X\right)={{{\left(b-a\right)}^2}\over {12}}.$$ 

Равномерно распределенная случайная величина $X$ принимает все свои значения лишь в конечном промежутке $\left[a;b\right]$, причем все эти значения случайной величины $X$ равновероятны. Примерами случайных величин, распределенных по равномерному закону, могут быть:

  • Время ожидания автобуса, при условии, что пассажир приходит на остановку в случайный момент времени и автобусы ходят с постоянным интервалом.
  • Ошибки при взвешивании.
  • Ошибка округления числа до целочисленного значения. Очевидно, что такая случайная величина распределена равномерно на отрезке $\left[-0,5;0,5\right]$.

Пример 1. Плотность распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид $f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 2\\ 
{{1}\over {5}},\ 2 < x\le 7\\ 
0,\ x>7
\end{matrix}\right.$.

Тогда математическое ожидание $M(X)=(a+b)/2=(2+7)/2=4,5$, дисперсия $D(X)={\left(b-a\right)}^2/12={\left(7-2\right)}^2/12=25/12\approx 2,083.$

Пример 2. Вычислить вероятность того, что при семи испытаниях менее трех раз случайная величина $X$ попадет в интервал $\left[0;1,5\right]$, если распределено по равномерному закону на отрезке $\left[0;6\right]$.

Запишем функцию распределения равномерно распределенной случайной величины $X\sim R\left[0;6\right]$.

$$F\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x < 0\\ 
{{x}\over {6}},\ при\ 0\le x\le 6\\ 
1,\ при\ x>6
\end{matrix}\right.$$ 

Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины $X$ вычисляется по формуле:

$$M\left(X\right)={{a+b}\over {2}}={{0+6}\over {2}}=3.$$ 

Тогда вероятность того, что $X\in \left[0;1,5\right]$ равна разности значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала: $P(0\le X\le 1,5)=F(1,5)-F(0)=1,5/6-0=0,25.$

Вероятность того, что при $n=7$ независимых испытаниях $X$ попадет в интервал $\left[0;1,5\right]$ менее трех раз, вычисляем по формуле: $P_7\left(k < 3\right)=P_7\left(0\right)+P_7\left(1\right)+P_7\left(2\right)=C^0_7\cdot {0,25}^0\cdot {0,75}^7+C^1_7\cdot 0,25\cdot {0,75}^6+C^2_7\cdot {0,25}^2\cdot {0,75}^5=0,133+0,311+0,311=0,755$.

Данная статья полезна?
×