Поделиться
Показательный закон распределения
Опубликовал Wikimatik , 3 Января 2017 по предмету "Теория вероятностей"

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина $X$ подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей $f\left(x\right)$ имеет следующий вид:

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\ 
\lambda e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right..$$ 

Тогда функция распределения:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\ 
1-e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$ 

Графики функций плотности $f\left(x\right)$ и распределения $F\left(x\right)$ представлены на рисунке:

Показательный закон распределения

Для показательного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой и равны $1/\lambda $, то есть:

$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)={{1}\over {\lambda }}.$$ 

Дисперсия:

$$D\left(X\right)={{1}\over {{\lambda }^2}}.$$ 

Параметр распределения $\lambda $ в статистическом смысле характеризует среднее число событий, наступающих в единицу времени. Так, если средняя продолжительность безотказной работы прибора равна $1/\lambda $, то параметр $\lambda $ будет характеризовать среднее число отказов в единицу времени. Примерами случайных величин, подчиненных показательному закону распределения, могут быть:

  • Продолжительность телефонного разговора;
  • Затраты времени на обслуживание покупателя;
  • Период времени работы прибора между поломками;
  • Промежутки времени между появлениями автомашин на автозаправочной станции.

Пример. Случайная величина $X$ распределена по показательному закону $f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\ 
5e^{-5x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$. Тогда математическое ожидание $=$ стандартное отклонение $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0,2$, дисперсия $D(X)=1/{\lambda }^2=1/25=0,04.$

Пример. Время работы прибора — случайная величина $X$, подчиненная показательному распределению. Известно, что среднее время работы данного прибора составляет $500$ часов. Какова вероятность того, что данный прибор проработает не менее $600$ часов?

Математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=500=1/\lambda $, отсюда параметр распределения $\lambda =1/500=0,002.$ Можем записать функцию распределения:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\ 
1-e^{-\lambda x}=1-e^{-0,002x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$ 

Тогда вероятность того, что прибор проработает менее $600$ часов, равна:

$$P\left(X\ge 600\right)=1-P\left(X < 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$ 

Данная статья полезна?
×