Поделиться
Относительная частота
Опубликовал Wikimatik , 3 Января 2017 по предмету "Теория вероятностей"

Относительная частота

Относительной частотой события $A$ называют отношение числа опытов $m$, где наступило это событие $A$, к общему числу опытов $n$: $w\left(A\right)=m/n$.

Пример. Было произведено $n=150$ выстрелов, причем зарегистрировано $m=70$ попаданий в цель. Событие $A=$ «попадание в цель», тогда относительная частота данного события $A$ равна $w\left(A\right)={{m}\over {n}}={{70}\over {150}}\approx 0,47.$

Замечание. Относительная частота события $A$ определяется исключительно после проведения опыта на основании полученных данных.

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Пусть производится серии из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события $A$ постоянна и равна $p$. Дело в том, что $p$ является теоретической величиной. На практике же часто наблюдается относительная частота $w\left(A\right)=m/n$. Как сильно относительная частота $w\left(A\right)$ может отклониться от $p$?

Вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа $\varepsilon >0$, можно найти: $P\left(\left|{{m}\over {n}}-p\right|\le \varepsilon \right)\approx 2\Phi \left(\varepsilon \sqrt{{{n}\over {p\left(1-p\right)}}}\right)$, где $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ — функция Лапласа. Значения данной функции берутся из специальной таблицы. Можно также воспользоваться мастером функций $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$.

Пример. Вероятность появления события в каждом из $500$ независимых испытаний равна $0,84$. Найти такое положительное число $\varepsilon $, чтобы с вероятностью $0,98$ абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превысила $\varepsilon $.

Вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа $\varepsilon >0$, можно найти по формуле:

$$P\left(\left|{{m}\over {n}}-p\right|\le \varepsilon \right)\approx 2\Phi \left(\varepsilon \sqrt{{{n}\over {p\left(1-p\right)}}}\right),\ где\ \Phi \left(x\right)\ — это\ функкция\ Лапласа.$$ 

У нас $n=500,\ p=0,84$, нужно найти $\varepsilon $, при этом вероятность такого отклонения известна и равна $0,98$. Подставляем в формулу значения, получаем:

$$2\Phi \left(\varepsilon \sqrt{{{500}\over {0,84\cdot 0,16}}}\right)=0,98$$ 

$$2\Phi \left(\varepsilon \cdot 60,99375\right)=0,98$$ 

$\Phi \left(\varepsilon \cdot 60,99375\right)=0,49$ по таблице квантилей находим, что $\varepsilon \cdot 60,99375=2,34$, отсюда $\varepsilon =0,0383646$.

Ответ: $\varepsilon =0,0383646$.

Данная статья полезна?
×