Поделиться
Простейший поток событий
Опубликовал Wikimatik , 3 Января 2017 по предмету "Теория вероятностей"

Простейший поток

Под потоком событий понимается некая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени. Примеров потоков событий можно привести бесчисленное множество: поступление вызовов на телефонную станцию, прибытие самолетов в аэропорт и даже прибытие студентов на пару по теории вероятностей за 15 минут до ее начала.

Интенсивность потока $\lambda $ — это среднее число событий, которые наступают в определенную единицу времени $t$. Например, среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за $t=45$ минут равно $\lambda =2$.

Простейший (пуассоновский) поток событий — это такой поток событий, для которого вероятность $P_t\left(k\right)$ появления $k$ событий за время $t$ определяется формулой Пуассона $P_t\left(k\right)={{{\left(\lambda t\right)}^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda t}$, где $k!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot k$.

Пример. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 45 сек., в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?

Имеем дело с простейшим (Пуассоновским) потоком событий. Это такой поток событий, для которого вероятность  $P_t(k)$ появления $k$ событий за время $t$ определяется формулой Пуассона:

$p_t\left(k\right)={{{\left(\lambda t\right)}^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda t},\ где\ k!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot k.$ 

У нас интенсивность $\lambda $ потока событий равна $60$, то есть $\lambda =60$. В одном часе $3600$ секунд, тогда $45$ секунд составляют ${45\over 3600} =0,0125$ часа, то есть $\lambda t=60\cdot 0,0125=0,75$. Получаем:

$p_{45\ сек}\left(0\right)={{{\left(60\cdot 0,0125\right)}^0}\over {0!}}\cdot e^{-60\cdot 0,0125}=e^{-0,75}\approx 0,472366553.$ 

Вероятность того, что в течение $45$ секунд не будет ни одного вызова, равна $0,472366553$.

Замечание. C помощью мастера функций $f_x$ пакета Excel можно вычислить значение $P_t\left(k\right)=ПУАССОН\left(k;\ \lambda t;0\right)$. Для нашего примера имеем $ПУАССОН\left(0;\ 0,75;0\right)$:

Перечислим основные свойства, которыми обладает простейший поток событий.

  • Стационарность, то есть постоянство числа событий, которые наступают в единицу времени.
  • Отсутствие  последствия, то есть независимость количества событий после всякого момента времени от количества событий до него.
  • Ординарность, то есть наступление нескольких событий одновременно становится практически невозможным.
Данная статья полезна?
×