Поделиться
Повторение испытаний
Опубликовал Wikimatik , 3 Января 2017 по предмету "Теория вероятностей"

Повторение испытаний

1. Схема Бернулли.

Производится серия из $n$ независимых испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность появления события $A$ постоянна и равна $p$. Вероятность не появления события $A$ равна $q=1-p$. Тогда вероятность того, что событие $A$ наступит ровно $k$ раз, равна $P_n\left(k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot q^{n-k}$, где $C^k_n={{n!}\over {k!\cdot \left(n-k\right)!}}$ — биномиальный коэффициент, $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ — факториал числа. Считается, что $0!=1$.

Пример 1. Монета подбрасывается $n=10$ раз. Каковая вероятность того, что герб выпадет ровно $k=4$ раза?

Событие $A=$ «выпал герб». Поскольку вероятность выпадения герба при бросании монеты равна $0,5$, то $p=P\left(A\right)=0,5$. Вероятность противоположного события $q=1-p=0,5$. Используя вышеуказанную формулу, получаем $P_n\left(k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot q^{n-k}=P_{10}\left(4\right)=C^4_{10}\cdot {0,5}^4\cdot {0,5}^{10-4}={{10!}\over {4!\cdot \left(10-4\right)!}}\cdot {0,5}^4\cdot {0,5}^6=210\cdot {0,5}^4\cdot {0,5}^6\approx 0,2051$.

Замечание. Можно воспользоваться статистической функцией БИНОМРАСП($k,\ n;\ p;\ 0$) мастера функций пакета $f_x$ Excel. В примере 1 БИНОМРАСП(4; 10; 0,5; 0)$\ \approx 0,205$.

По формуле $P_n\left(k_1\le k\le k_2\right)=\sum^{k_2}_{k=k_1}{P_n\left(k\right)}$ находится вероятность того, что событие $A$ в $n$ независимых испытаниях наступит не менее $k_1$ раз и не более $k_2$ раз.

Пример 2. Монета подбрасывается $n=10$ раз. Каковая вероятность того, что герб выпадет от трех до пяти раз?

Здесь $k_1=3,\ k_2=5$, тогда $P_n\left(k_1\le k\le k_2\right)=P_{10}\left(3\le k\le 5\right)=P_{10}\left(3\right)+P_{10}\left(4\right)+P_{10}\left(5\right)=C^3_{10}\cdot {0,5}^3\cdot {0,5}^7+C^4_{10}\cdot {0,5}^4\cdot {0,5}^6+C^5_{10}\cdot {0,5}^5\cdot {0,5}^5=0,568$.

Замечание. Для вычисления вероятности $P_n\left(k_1\le k\le k_2\right)$ можно также использовать Excel: $P_n\left(k_1\le k\le k_2\right)=P_n\left(k\le k_2\right)-P_n\left(k\le k_1-1\right)=БИНОМРАСП\left(k_2;n;p;1\right)-БИНОМРАСП\left(k_1-1;n;p;1\right)$. В примере 2 $БИНОМРАСП\left(5;n;p;1\right)-БИНОМРАСП\left(2;n;p;1\right)\approx 0,568$.

Если не использовать Excel, то при больших значениях $n$ схема Бернулли может привести к очень большим выкладкам. Поэтому значение вероятности можно найти приближенно, используя для этого различные теоремы.

2. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если число независимых испытаний $n$ велико, то вводят вспомогательную величину $x={{k-np}\over {\sqrt{npq}}}$ и определяют искомую вероятность по формуле $P_n\left(k\right)\approx {{\varphi \left(x\right)}\over {\sqrt{npq}}}$, где $\varphi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\cdot e^{-x^2/2}$. Функция $\varphi \left(x\right)$ табулированная, то есть ее значение берется из специальной таблицы. Также для вычисления значение функции $\varphi \left(x\right)$ можно воспользоваться мастером функций $f_x$ пакета Excel: $\varphi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;0\right)$.

Пример 3. При штамповке получается в среднем 90% годных изделий. Найти вероятность того, что из 200 полученных изделий годных окажется только 150.

Событие $A$ — «полученное изделие окажется годным». Имеем серию из $n=200$ независимых испытаний с постоянной вероятностью $p=0,9$ появления события $A$. Тогда вероятность «не появления» события $A$ будет равна $q=1-p=0,1$. Поскольку число испытаний $n$ велико, то для нахождения вероятности $P_n\left(k\right)$ будем использовать приближенную формулу, а именно локальную теорему Муавра-Лапласа.

Пусть событие $B$ — «из $n=200$ изделий годных окажется только $k=150$». Введем вспомогательный параметр $x={k-np\over \sqrt{npq} } ={150-200\cdot 0,3\over \sqrt{200\cdot 0,3\cdot 0,7} } \approx 13,887$. Тогда вероятность данного события $P(B)=P_{200} (150)={\varphi (x)\over \sqrt{npq} } ={\varphi (13,887)\over 6,481} ={0\over 6,481} =0$, то есть практически невозможное событие.

3. Интегральная теорема Лапласа.

Если число независимых испытаний $n$ велико, то вводят вспомогательные параметры $x_2={{k_2-np}\over {\sqrt{npq}}}$, $x_1={{k_1-np}\over {\sqrt{npq}}}$ и определяют вероятность по формуле $P_n\left(k_1\le k\le k_2\right)\approx \Phi \left(x_2\right)-\Phi \left(x_1\right)$, где $\Phi (x)={1\over \sqrt{2\pi } } \int _{0}^{x}e^{-t^{2} /2}  dt$ — функция Лапласа. Значения этой функции берутся из специальной таблицы. Также для вычисления значения функции $\Phi \left(x\right)$ можно воспользоваться мастером функций $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Важно, что $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$. Полагают, что $\Phi \left(x\right)=0,5$, при $x>5$.

Пример 4. При штамповке получается в среднем 90% годных изделий. Найти вероятность того, что из 200 полученных изделий окажется не менее 180 годных.

Имеем серию из $n=200$ независимых испытаний с постоянной вероятностью $p=0,9$ появления события $A$. Тогда вероятность «не появления» события $A$ будет равна $q=1-p=0,1$. Поскольку число испытаний $n$ велико, то для нахождения вероятности $P_n\left(k\right)$ будем использовать приближенную формулу, а именно интегральную теорему Лапласа.

Пусть событие $B$ — «из $n=200$ изделий годных окажется не менее 180», то есть требуется вычислить вероятность $P_n\left(180\le k\le 200\right)$. Введем вспомогательные параметры $x_{2} ={k_{2} -np\over \sqrt{npq} } ={200-200\cdot 0,9\over \sqrt{200\cdot 0,3\cdot 0,7} } \approx 21,602,$ $x_{1} ={k_{1} -np\over \sqrt{npq} } ={180-200\cdot 0,9\over \sqrt{200\cdot 0,3\cdot 0,7} } \approx 18,516$. Тогда вероятность данного события $P\left(B\right)=\Phi \left(x_2\right)-\Phi\left(x_1\right)=\Phi\left(21,602\right)-\Phi\left(15,513\right)=0,5-0,5=0$, то есть практически невозможное событие.

4. Теорема Пуассона.

Если вероятность $p\le 0,1$, то применять приближенную формулу Муавра-Лапласа нельзя. В этом случае используют теорему Пуассона. Положим параметр $\lambda =np$, тогда вероятность $P_n\left(k\right)$ появления события $A$ ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний приближенно равна $P_n\left(k\right)\approx {{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$.

Можно воспользоваться мастером функций $f_x$ пакета Excel: $P_n\left(k\right)=ПУАССОН\left(k;\ \lambda ;0\right)$.

Пример 5. Вероятность сбоя в работе телефонной линии при одном вызове равна $p=0,007$. Поступило $n=1000$ вызовов. Найдите вероятность, с которой при этом произойдет ровно $k=9$ сбоев.

Имеем серию из $n=1000$ независимых испытаний с постоянной вероятностью $p=0,007$ появления события. Так как число испытаний велико, а вероятность события слишком мала, то применим теорему Пуассона.

Положим $\lambda =np=1000\cdot 0,007=7$, тогда $P_{n} (k)\approx {\lambda ^{k} \over k!} \cdot e^{-\lambda } $, где $k$ — число появлений события. Получаем, что $P_{1000} (9)={7^{9} \over 9!} \cdot e^{-7} \approx 0,101.$

Замечание. С помощью Excel можем проверить полученный результат, для этого вводим функцию $ПУАССОН\left(9;7;0\right)$.

 

Видео урок по тема: схема Бернулли Видео урок по тема: локальная теорема Муавра-Лапласа

Видео урок по теме: интегральная теорема Лапласа Видео урок по теме: формула Пуассона

Данная статья полезна?
×