Поделиться
Формула полной вероятности и формула Байеса
Опубликовал Wikimatik , 3 Января 2017 по предмету "Теория вероятностей"

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если наступление события $A$ возможно лишь при появлении одного из следующих несовместных событий (гипотез): $B_1,B_2,\ \dots ,\ B_i$, которые образуют полную группу событий, то вероятность события $A$ находится по следующей формуле:

$$P\left(A\right)=\sum^n_{i=1}{P\left(B_i\right)P\left(A|B_i\right)}$$ 

Данная формула и называется формулой полной вероятности события $A$. Здесь $P\left(B_i\right)$ — вероятность соответствующей гипотезы $B_i$, а $P\left(A|B_i\right)$ — условная вероятность события $A$, если имеет место быть гипотеза $B_i$. Поскольку гипотезы $B_1,\ B_2,\ \dots ,\ B_i$ образуют полную группу событий, то в сумме их вероятности должны быть равны $1$, то есть $\sum^n_{i=1}{B\left(B_i\right)}=1$.

Если же событие $A$ произошло, то вероятности гипотез $B_1,\ B_2,\ \dots ,\ B_i$ переоцениваются по следующей формуле:

$$P\left(B_i|A\right)={{P\left(B_i\right)P\left(A|B_i\right)}\over {P\left(A\right)}}$$ 

Данная формула и называется формулой Байеса. Вероятности $P\left(B_1\right),\ P\left(B_2\right),\ \dots ,\ P\left(B_i\right)$ называются априорными, а вероятности $P\left(A|B_1\right),\ P\left(A|B_2\right),\ \dots ,\ P\left(A|B_i\right)$ называются апостериорными. Действие данных формул проще всего понять на конкретных примерах.

Пример 1. Из 18 стрелков команды 5 человек попадают в цель с вероятностью 0,8; семь - с вероятностью 0,7; четверо - с вероятностью 0,6; двое - 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит он?

Обозначим событие $A=$ «наудачу выбранный стрелок не попал в мишень». Имеют место быть следующие гипотезы:

$B_1=$ «стрелок принадлежал первой группе»;

$B_2=$ «стрелок принадлежал второй группе»;

$B_3=$ «стрелок принадлежал третьей группе»;

$B_4=$ «стрелок принадлежал четвертой группе».

Вероятности данных гипотез определяем по классической формуле вероятности, исходя из условия задачи.

$$P\left(B_1\right)={{5}\over {18}};$$ 

$$P\left(B_2\right)={{7}\over {18}};$$ 

$$P\left(B_3\right)={{4}\over {18}};$$ 

$$P\left(B_4\right)={{2}\over {18}}.$$ 

Условные вероятности соответственно равны:

$$P\left(A|B_1\right)=1-0,8=0,2;$$ 

$$P\left(A|B_2\right)=1-0,7=0,3;$$ 

$$P\left(A|B_3\right)=1-0,6=0,4;$$ 

$$P\left(A|B_4\right)=1-0,5=0,5.$$ 

Тогда вероятность события $A$ по формуле полной вероятности:

$$P\left(A\right)=\sum^n_{i=1}{P\left(B_i\right)P\left(A|B_i\right)={{5}\over {18}}\cdot 0,2+{{7}\over {18}}\cdot 0,3+{{4}\over {18}}\cdot 0,4+{{2}\over {18}}\cdot 0,5={{19}\over {60}}\approx 0,317}$$ 

Апостериорные вероятности $P\left(B_i|A\right)$ вычислим по формуле Байеса $P\left(B_i|A\right)={{P\left(B_i\right)P\left(B_i|A\right)}\over {P\left(A\right)}}$:

$$P\left(B_1|A\right)={{P\left(B_1\right)P\left(A|B_1\right)}\over {P\left(A\right)}}={{{{5}\over {18}}\cdot 0,2}\over {0,317}}=0,175;$$ 

$$P\left(B_2|A\right)={{P\left(B_2\right)P\left(A|B_2\right)}\over {P\left(A\right)}}={{{{7}\over {18}}\cdot 0,3}\over {0,317}}=0,368;$$ 

$$P\left(B_3|A\right)={{P\left(B_3\right)P\left(A|B_3\right)}\over {P\left(A\right)}}={{{{4}\over {18}}\cdot 0,4}\over {0,317}}=0,280;$$ 

$$P\left(B_4|A\right)={{P\left(B_4\right)P\left(A|B_4\right)}\over {P\left(A\right)}}={{{{2}\over {18}}\cdot 0,5}\over {0,317}}=0,175.$$ 

Видим, что вероятнее всего стрелок принадлежал ко второй группе.

 

Пример 2. В часовой магазин поступают часы с трёх фабрик, причём с первой фабрики поступает 40% , со второй - 35%. а с третьей 25%. Вероятность брака на первой фабрике 0.06, на второй - 0.07, а на третьей - 0.08. Выбранные часы оказались бракованными. Какова вероятность того, что эти часы а) с первой фабрики? б) со второй фабрики? в) с третьей фабрики?

Обозначим событие $A=$ $\{$выбранные часы оказались бракованными$\}$. Имеют место быть следующие гипотезы:

$B_1=$ $\{$часы принадлежат первой фабрике$\}$;

$B_2=$ $\{$часы принадлежат второй фабрике$\}$;

$B_3=$ $\{$часы принадлежат третьей фабрике$\}$.

Вероятности этих гипотез:

$$P\left(B_1\right)=0,4;$$ 

$$P\left(B_2\right)=0,35;$$ 

$$P\left(B_3\right)=0,25.$$ 

Условные вероятности соответственно равны:

$$P\left(A|B_1\right)=0,06;$$ 

$$P\left(A|B_2\right)=0,07;$$ 

$$P\left(A|B_3\right)=0,08.$$ 

Тогда вероятность события $A$ можем определить по формуле полной вероятности:

$$P\left(A\right)=\sum^n_{i=1}{P\left(B_i\right)P\left(A|B_i\right)}=0,4\cdot 0,06+0,35\cdot 0,07+0,25\cdot 0,08=0,0685.$$ 

Апостериорные вероятности $P\left(B_i|A\right)$ определяем по формуле Байеса.

$$P\left(B_1|A\right)={{P\left(B_1\right)\cdot P\left(A|B_1\right)}\over {P\left(A\right)}}={{0,4\cdot 0,06}\over {0,0685}}\approx 0,35.$$ 

$$P\left(B_2|A\right)={{P\left(B_2\right)\cdot P\left(A|B_2\right)}\over {P\left(A\right)}}={{0,35\cdot 0,07}\over {0,0685}}\approx 0,358.$$ 

$$P\left(B_3|A\right)={{P\left(B_3\right)\cdot P\left(A|B_3\right)}\over {P\left(A\right)}}={{0,25\cdot 0,08}\over {0,0685}}\approx 0,292.$$

Данная статья полезна?
×